I praktiken ger det glidande medlet en bra uppskattning av medelvärdet av tidsserierna om medelvärdet är konstant eller långsamt förändrat. I händelse av ett konstant medelvärde kommer det största värdet av m att ge de bästa uppskattningarna av det underliggande genomsnittet. En längre observationsperiod kommer att medeltala effekterna av variationen. Syftet med att tillhandahålla en mindre m är att tillåta prognosen att svara på en förändring i den underliggande processen. För att illustrera föreslår vi en dataset som innehåller förändringar i underliggande medelvärden av tidsserierna. Figuren visar tidsserien som används för illustration tillsammans med den genomsnittliga efterfrågan från vilken serien genererades. Medelvärdet börjar som en konstant vid 10. Börjar vid tid 21 ökar den med en enhet i varje period tills den når värdet 20 vid tidpunkten 30. Då blir det konstant igen. Uppgifterna simuleras genom att lägga till i genomsnitt ett slumpmässigt brus från en normalfördelning med nollvärde och standardavvikelse 3. Resultaten av simuleringen avrundas till närmsta heltal. Tabellen visar de simulerade observationer som används för exemplet. När vi använder bordet måste vi komma ihåg att vid varje given tidpunkt endast endast tidigare data är kända. Uppskattningarna av modellparametern, för tre olika värden på m visas tillsammans med medelvärdet av tidsserierna i figuren nedan. Figuren visar den genomsnittliga rörliga genomsnittliga beräkningen av medelvärdet vid varje tidpunkt och inte prognosen. Prognoserna skulle flytta de glidande medelkurvorna till höger av perioder. En slutsats framgår omedelbart av figuren. För alla tre uppskattningar ligger glidande medelvärde bakom den linjära trenden, där fördröjningen ökar med m. Lagen är avståndet mellan modellen och uppskattningen i tidsdimensionen. På grund av fördröjningen underskattar det rörliga genomsnittet observationerna när medelvärdet ökar. Estimatorns förspänning är skillnaden vid en viss tid i modellens medelvärde och medelvärdet förutspått av det rörliga genomsnittet. Förspänningen när medelvärdet ökar är negativt. För ett minskande medelvärde är förspänningen positiv. Fördröjningen i tid och den bias som införs i uppskattningen är funktionerna i m. Ju större värdet av m. desto större är storleken på fördröjning och förspänning. För en kontinuerligt ökande serie med trend a. värdena för fördröjning och förspänning av estimatorn av medelvärdet ges i ekvationerna nedan. Exemplet kurvorna stämmer inte överens med dessa ekvationer eftersom exemplet modellen inte ökar kontinuerligt, utan det börjar som en konstant, ändras till en trend och blir sedan konstant igen. Även kurvorna påverkas av bruset. Den glidande genomsnittliga prognosen för perioder i framtiden representeras genom att man ändrar kurvorna till höger. Fördröjningen och förskjutningen ökar proportionellt. Ekvationerna nedan anger fördröjningen och förspänningen av prognosperioder i framtiden jämfört med modellparametrarna. Återigen är dessa formler för en tidsserie med en konstant linjär trend. Vi borde inte bli förvånad över resultatet. Den rörliga genomsnittliga estimatorn är baserad på antagandet om ett konstant medelvärde och exemplet har en linjär trend i medelvärdet under en del av studieperioden. Eftersom realtidsserier sällan exakt kommer att följa antagandena till en modell, borde vi vara beredda på sådana resultat. Vi kan också dra av slutsatsen att brusets variabilitet har störst effekt för mindre m. Uppskattningen är mycket mer flyktig för det glidande medlet på 5 än det glidande medlet på 20. Vi har de motstridiga önskningarna att öka m för att minska effekten av variationer på grund av bullret och att minska m för att göra prognosen mer mottaglig för förändringar i medelvärdet. Felet är skillnaden mellan den faktiska data och det prognostiserade värdet. Om tidsserierna verkligen är ett konstant värde är det förväntade värdet av felet noll och variansen av felet består av en term som är en funktion av och en andra term som är brusets varians. Den första termen är medelvärdet av det medelvärde som uppskattas med ett urval av m-observationer, förutsatt att data kommer från en population med konstant medelvärde. Denna term minimeras genom att göra m så stor som möjligt. En stor m gör prognosen inte svarande mot en förändring i underliggande tidsserier. För att prognosen ska kunna reagera på förändringar vill vi m vara så liten som möjligt (1), men detta ökar felvariationen. Praktisk prognos kräver ett mellanvärde. Prognoser med Excel Prognosen för prognoser implementerar de glidande medelformlerna. Exemplet nedan visar analysen som tillhandahålls av tillägget för provdata i kolumn B. De första 10 observationerna indexeras -9 till 0. Jämfört med tabellen ovan förskjuts periodens index med -10. De första tio observationerna ger startvärdena för uppskattningen och används för att beräkna det glidande medlet för period 0. MA (10) kolumnen (C) visar de beräknade glidande medelvärdena. Den rörliga genomsnittsparametern m är i cell C3. Fore (1) kolumnen (D) visar en prognos för en period framåt. Prognosintervallet ligger i cell D3. När prognosintervallet ändras till ett större antal, flyttas numren i Fore-kolumnen nedåt. Err-kolumnen (E) visar skillnaden mellan observationen och prognosen. Till exempel är observationen vid tidpunkten 1 6. Det prognostiserade värdet som gjorts från det glidande medlet vid tidpunkten 0 är 11,1. Felet är då -5,1. Standardavvikelsen och medelvärdesavvikelsen (MAD) beräknas i cellerna E6 respektive E7. Flyttande medelvärden Flytta medelvärden Med vanliga dataset är medelvärdet ofta det första och en av de mest användbara sammanfattande statistiken att beräkna. När data är i form av en tidsserie är seriemärket en användbar åtgärd, men återspeglar inte dataens dynamiska natur. Medelvärden beräknade över korta perioder, antingen före den aktuella perioden eller centrerad under den aktuella perioden, är ofta mer användbara. Eftersom sådana medelvärden varierar eller flyttas, då den aktuella perioden går från tid t 2, t 3. etc. är de kända som glidande medelvärden (Mas). Ett enkelt glidande medelvärde är (vanligtvis) det obegripade medlet av k tidigare värden. Ett exponentiellt vägt rörligt medelvärde är väsentligen detsamma som ett enkelt rörligt medelvärde, men med bidrag till medelvärdet viktat av deras närhet till den aktuella tiden. Eftersom det inte finns en, men en hel serie av rörliga medelvärden för en given serie, kan maset själva vara ritat på diagram, analyserade som en serie och används vid modellering och prognoser. En rad modeller kan konstrueras med hjälp av glidande medelvärden, och dessa är kända som MA-modeller. Om sådana modeller kombineras med autoregressiva (AR) modeller är de resulterande kompositmodellerna kända som ARMA - eller ARIMA-modeller (jag är för integrerad). Enkla glidande medelvärden Eftersom en tidsserie kan betraktas som en uppsättning värden, kan t 1,2,3,4, n genomsnittet av dessa värden beräknas. Om vi antar att n är ganska stor, och vi väljer ett heltal k som är mycket mindre än n. vi kan beräkna en uppsättning blockmedelvärden eller enkla glidande medelvärden (i ordning k): Varje åtgärd representerar genomsnittet av datavärdena över ett intervall av k-observationer. Observera att den första möjliga MA i ordningen k gt0 är den för t k. Mer generellt kan vi släppa det extra prenumerationen i ovanstående uttryck och skriva: Detta säger att det uppskattade medelvärdet vid tiden t är det enkla genomsnittet av det observerade värdet vid tiden t och de föregående k -1-stegen. Om vikter appliceras som minskar bidraget från observationer som är längre bort i tid, sägs det glidande medlet vara exponentiellt jämna. Flytta medelvärden används ofta som en form av prognoser, varvid det uppskattade värdet för en serie vid tiden t 1, S t1. tas som MA för perioden fram till och med tiden t. t. ex. Dagens uppskattning baseras på ett genomsnitt av tidigare inspelade värden fram till och med gårdagarna (för dagliga data). Enkla glidande medelvärden kan ses som en form av utjämning. I det nedan angivna exemplet har luftföroreningens dataset som visas i introduktionen till detta ämne ökat med en 7 dagars glidande medelvärde (MA) - linje, som visas här i rött. Som det kan ses, släpper MA-linjen ut topparna och trågen i data och kan vara till stor hjälp när det gäller att identifiera trender. Standarden framåtberäkningsformeln innebär att de första k -1 datapunkterna inte har något MA-värde, men därefter sträcker sig beräkningarna till den slutliga datapunkten i serien. PM10 dagliga medelvärden, Greenwich källa: London Air Quality Network, londonair. org. uk En anledning till att beräkna enkla glidande medelvärden på det sätt som beskrivs är att det gör det möjligt att beräkna värden för alla tidsluckor från tid tk fram till idag, och När en ny mätning erhålls för tid t 1 kan MA för tid t 1 läggas till den redan beräknade uppsättningen. Detta ger ett enkelt förfarande för dynamiska dataset. Det finns emellertid vissa problem med detta tillvägagångssätt. Det är rimligt att hävda att medelvärdet under de senaste 3 perioderna ska vara placerat vid tiden t -1, inte tiden t. och för en MA över ett jämnt antal perioder kanske det borde ligga mitt i punkten mellan två tidsintervaller. En lösning på denna fråga är att använda centrerade MA-beräkningar, där MA vid tiden t är medelvärdet av en symmetrisk uppsättning värden runt t. Trots dess uppenbara meriter används inte detta tillvägagångssätt allmänt eftersom det krävs att data är tillgängliga för framtida händelser, vilket kanske inte är fallet. I fall där analysen helt och hållet består av en befintlig serie, kan användningen av centrerad Mas vara att föredra. Enkla glidande medelvärden kan betraktas som en form av utjämning, avlägsna några högfrekventa komponenter i en tidsserie och markera (men inte ta bort) trender på ett sätt som liknar det allmänna begreppet digital filtrering. Faktum är att glidmedel är en form av linjärt filter. Det är möjligt att tillämpa en glidande medelberäkning till en serie som redan har slätts, dvs utjämning eller filtrering av en redan slätad serie. Till exempel med ett glidande medelvärde av ordning 2 kan vi betrakta det som beräknat med vikter, så MA vid x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. På samma sätt kan MA vid x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Om vi Applicera en andra nivå av utjämning eller filtrering, vi har 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 dvs 2-stegs filtrering process (eller convolution) har producerat ett variabelt viktat symmetriskt rörligt medelvärde, med vikter. Flera omvälvningar kan producera ganska komplexa viktade glidmedel, av vilka vissa har visat sig vara särskilt användningsområden inom specialiserade områden, t. ex. i livförsäkringsberäkningar. Flyttande medelvärden kan användas för att avlägsna periodiska effekter om de beräknas med periodens längd som känd. Exempelvis kan säsongsvariationer ofta avlägsnas (om detta är målet) med hjälp av ett symmetriskt 12 månaders glidande medelvärde med alla månader viktade lika mycket, med undantag för det första och det sista som vägs med 12. Detta beror på att det kommer att var 13 månader i den symmetriska modellen (aktuell tid, t. - 6 månader). Totalen är dividerad med 12. Liknande procedurer kan antas för vilken väldefinierad periodicitet som helst. Exponentiellt vägda glidmedel (EWMA) Med den enkla glidande medelformeln: alla observationer är lika viktiga. Om vi kallade dessa lika vikter, alfa t. var och en av k-vikterna skulle motsvara 1 k. så summan av vikterna skulle vara 1 och formeln skulle vara: Vi har redan sett att flera tillämpningar av denna process resulterar i vikten varierande. Med exponentiellt vägda glidmedel är bidraget till medelvärdet från observationer som är mer borttagna i tiden minskat, vilket därmed understryker senare (lokala) händelser. I grunden introduceras en utjämningsparameter, 0lt al1, och formeln revideras till: En symmetrisk version av denna formel skulle vara av formen: Om vikterna i den symmetriska modellen väljas som villkoren för villkoren för binomial expansion, (1212) 2q. de kommer att summeras till 1, och när q blir stor kommer den att approximera normalfördelningen. Detta är en form av kärnviktning, med binomial som fungerar som kärnfunktionen. Den tvåstegsvalsning som beskrivs i föregående stycke är just detta arrangemang, med q 1, vilket ger vikterna. Vid exponentiell utjämning är det nödvändigt att använda en uppsättning vikter som summerar till 1 och som reducerar geometriskt i storlek. De använda vikterna är typiskt av formen: För att visa att dessa vikter uppgår till 1, överväga utvidgningen av 1 som en serie. Vi kan skriva och expandera uttrycket i parentes med binomialformeln (1- x) p. där x (1-) och p -1, vilket ger: Detta ger då en form av viktat glidande medelvärde av formuläret: Denna summering kan skrivas som en återkommande relation: vilket förenklar beräkningen kraftigt och undviker problemet att viktningsregimen bör strängt vara oändlig för vikterna sammanlagt till 1 (för små värden av alfa. detta är vanligtvis inte fallet). Notationen som används av olika författare varierar. Vissa använder bokstaven S för att indikera att formeln i huvudsak är en jämn variabel och skriv: medan kontrollteori litteraturen ofta använder Z snarare än S för exponentiellt viktade eller jämnda värden (se exempelvis Lucas och Saccucci, 1990, LUC1 , och NIST-webbplatsen för mer detaljer och fungerade exempel). De ovan angivna formlerna härstammar från Roberts arbete (1959, ROB1), men Hunter (1986, HUN1) använder ett uttryck av formen: vilket kan vara mer lämpligt för användning vid vissa kontrollförfaranden. Med alfa 1 är medelvärdet bara det uppmätta värdet (eller värdet av föregående dataobjekt). Med 0,5 är uppskattningen det enkla glidande medlet för nuvarande och tidigare mätningar. Vid prognosmodeller är värdet S t. används ofta som uppskattnings - eller prognosvärde för nästa tidsperiod, dvs som uppskattning för x vid tidpunkt t 1. Således har vi: Detta visar att prognosvärdet vid tid t 1 är en kombination av det tidigare exponentiellt viktade glidande medlet plus en komponent som representerar det vägda prediktionsfelet, epsilon. vid tiden t. Antag att en tidsserie ges och en prognos krävs, ett värde för alfa krävs. Detta kan beräknas från befintliga data genom att utvärdera summan av kvadrerade prediktionsfel erhållna med varierande värden av alfa för varje t 2,3. inställning av den första uppskattningen som det första observerade datavärdet, x 1. I kontrollapplikationer är värdet av alfa viktigt eftersom det används vid bestämning av de övre och nedre kontrollgränserna och påverkar den genomsnittliga körlängden (ARL) som förväntas innan dessa kontrollgränser bryts (under antagandet att tidsserierna representerar en uppsättning slumpmässiga, identiskt distribuerade oberoende variabler med gemensam varians). Under dessa omständigheter är variansen av kontrollstatistiken: (Lucas och Saccucci, 1990): Kontrollgränser fastställs vanligtvis som fasta multiplar av denna asymptotiska varians, t. ex. - 3 gånger standardavvikelsen. Om exempelvis alfa 0,25 och de data som övervakas antas ha en Normalfördelning, N (0,1), när den är i kontroll, kommer kontrollgränserna att vara - 1,134 och processen kommer att nå en eller annan gräns i 500 steg i genomsnitt. Lucas och Saccucci (1990 LUC1) härleda ARL för ett brett spektrum av alfavärden och under olika antaganden med användning av Markov Chain-förfaranden. De tabulerar resultaten, inklusive att tillhandahålla ARL, när medelvärdet av kontrollprocessen har skiftats med en del multipel av standardavvikelsen. Till exempel, med ett 0,5 skift med alfa 0,25 är ARL mindre än 50 tidssteg. Tillvägagångssätten som beskrivs ovan är kända som enda exponentiell utjämning. eftersom förfarandena appliceras en gång till tidsserierna och sedan utförs analyser eller kontrollprocesser på den resulterande utjämnade datasatsen. Om datasetet innehåller en trend och eller säsongsbetonade komponenter kan två - eller trestegs exponentiell utjämning användas för att avlägsna (explicit modellering) dessa effekter (se vidare avsnittet Prognoser nedan och NIST-exemplet). CHA1 Chatfield C (1975) Analysen av Times Series: Theory and Practice. Chapman och Hall, London HUN1 Hunter J S (1986) Det exponentiellt vägda glidande medlet. J av Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Exponentiellt viktade rörliga medelkontrollsystem: Egenskaper och förbättringar. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Kontrolldiagramtester baserat på geometriska rörliga medelvärden. Technometrics, 1, 239-250Time Serie Analys och prognoser Många typer av data samlas in över tiden. Aktiekurser, försäljningsvolymer, räntor och kvalitetsmätningar är typiska exempel. På grund av dataens sekventiella natur krävs särskilda statistiska tekniker som svarar för dataens dynamiska natur. Statpoint Technologies produkter ger flera procedurer för hantering av tidsseriedata: Statgraphics Web Services Run Charts Kördiagramproceduren ritar data som finns i en enda numerisk kolumn. Det antas att uppgifterna är sekventiella i naturen, som består av individer (en mätning som tas vid varje tidsperiod) eller undergrupper (grupper av mätningar vid varje tidsperiod). Tester utförs på data för att bestämma om de representerar en slumpmässig serie, eller om det finns tecken på blandning, kluster, oscillation eller trending. Beskrivande metoder Att karakterisera en tidsserie innebär att man inte bara uppskattar en medel - och standardavvikelse utan även korrelationerna mellan observationer som är åtskilda i tid. Verktyg som autokorrelationsfunktionen är viktiga för att visa hur det förflutna fortsätter att påverka framtiden. Andra verktyg, såsom periodogrammet, är användbara när data innehåller oscillationer vid specifika frekvenser. När en tidsserie innehåller en stor mängd brus kan det vara svårt att visualisera någon underliggande trend. Olika linjära och olinjära smoothers kan användas för att separera signalen från bruset. Säsongssönderdelning När uppgifterna innehåller en stark säsongseffekt är det ofta till hjälp att skilja säsongsmässigheten från de andra komponenterna i tidsserierna. Detta gör att man kan uppskatta säsongsmönstret och skapa säsongsrensade data. Prognoser (användardefinierad modell) Ett gemensamt mål för tidsserieanalys extrapolerar tidigare beteende i framtiden. STATGRAPHICS prognosprocedurer inkluderar slumpmässiga promenader, glidande medelvärden, trendmodeller, enkel, linjär, kvadratisk och säsongsexponentiell utjämning och ARIMA parametriska tidsseriemodeller. Användare kan jämföra olika modeller genom att hålla prov på slutet av tidsserierna för validering. Prognos (automatisk modellval) Om så önskas kan användare välja att låta STATGRAPHICS välja en prognosmodell för dem genom att jämföra flera modeller och automatiskt välja modellen som maximerar ett visst informationskriterium. De tillgängliga kriterierna är baserade på det genomsnittliga kvadratprognosfelet som straffas för antalet modellparametrar som måste beräknas från data. En gemensam användning av denna procedur i Six Sigma är att välja en ARIMA-modell för att basera ett ARIMA-kontrollschema, vilket i motsats till de flesta kontrollscheman inte tar hänsyn till oberoende mellan successiva mätningar. I sådana fall kan analytikern välja att bara överväga modeller av ARMA (p, p-1) - formen, vilken teori föreslår kan karakterisera många dynamiska processer.
Comments
Post a Comment